2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 00:10 Введение в первый интеграл Обсуждение геометрической интерпретации и задач нахождения решений. Введение определения первого интеграла для скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Определение функции двух переменных, обладающей свойством постоянства для любого решения уравнения. 03:20 Отличие первого интеграла от общего интеграла Обсуждение отличий между первым и общим интегралом для скалярного уравнения. Применение теории неявных функций для определения решений. Определение первого интеграла для динамической системы. 08:26 Примеры физических задач Примеры физических задач, таких как радиоактивный распад и уравнение движения материальной точки. Обсуждение уравнения колебания груза на пружине и его вывода. Применение закона сохранения энергии для получения уравнения движения. 17:06 Колебания маятника Пример колебаний маятника как нелинейного дифференциального уравнения. Важность изучения этого примера для понимания свойств нелинейных уравнений. 18:09 Уравнение математического маятника Рассматривается уравнение, описывающее нелинейные колебания. Уравнение называется уравнением математического маятника. При малых колебаниях уравнение становится линейным. 20:39 Введение в уравнения первого порядка Рассматриваются уравнения первого порядка. Уравнения могут быть скалярными или системами. Начинается с простейших скалярных уравнений. 22:44 Уравнения с разделяющимися переменными Уравнения с разделяющимися переменными интегрируются в квадратурах. Пример уравнения: y' = f1 x / f2 y. Решение уравнения предполагает существование решения. 27:26 Автономные уравнения движения Рассматриваются автономные уравнения движения материальной точки. Уравнение движения: d^2x/dt^2 = f(x). Важность первого интеграла и общего решения. 32:01 Получение первого интеграла Деление на m и умножение на x'dt. Устранение производных и получение интеграла. Пример вычисления интеграла и получение общего решения. 36:24 Введение в первый интеграл Объяснение, что такое первый интеграл для уравнения второго порядка. Первый интеграл выражает законы сохранения. Пример использования первого интеграла для уравнения первого порядка. 37:42 Решение уравнения второго порядка Решение уравнения относительно производной. Уравнение с разделяющимися переменными. Уравнение математического маятника как частный случай уравнения второго порядка. 40:25 Общий интеграл и динамическая система Общий интеграл для уравнения второго порядка зависит от двух переменных. Введение динамической системы для автономного уравнения второго порядка. Эквивалентная динамическая система и её первый интеграл. 44:15 Фазовая плоскость и фазовая траектория Введение понятия фазовой плоскости и фазовой траектории. Фазовая траектория как проекция решения на фазовую плоскость. Уравнение для фазовой траектории и его интегрирование. 51:53 Линейное уравнение первого порядка Введение в линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение вида y' = f(x) + p(x)y. Линейность уравнения и его терминология. 54:00 Неоднородное уравнение Неоднородное уравнение имеет правую часть, отличную от нуля. Рассматривается множество значений x, на котором функции p от x и f от x непрерывны. Уравнение допускает разделение переменных. 55:25 Разделение переменных Уравнение допускает разделение переменных при условии, что y не равно нулю. Интегрирование приводит к логарифму модуля y и интегралу от p от x dx. Общее решение уравнения: y от x = c на e в степени минус интеграл от p от x dx. 58:35 Обоснование общего решения Необходимо доказать, что полученное решение действительно является общим. Любое решение однородного уравнения должно быть представлено в виде общего решения. Доказательство включает логические рассуждения и теоремы. 01:01:28 Теорема о представлении решения Любое решение однородного уравнения представимо в виде общего решения. Рассматривается функция f от x, умноженная на экспоненту. Доказывается, что эта функция является константой, что завершает доказательство теоремы. 01:06:27 Задача Каши Уравнение имеет дополнительные условия y x0 = y 0. Общее решение включает одну неизвестную постоянную, которую нужно установить. Решение удовлетворяет дополнительным условиям и является единственным. 01:08:58 Единственность решения Решение единственно, что следует из единственности представления. При y 0 = 0 уравнение имеет только тривиальное решение. Этот факт важен для линейных уравнений и используется в линейной алгебре. 01:11:16 Неоднородное уравнение Переход к обсуждению неоднородного уравнения. Обсуждение метода вариации постоянной и формулировка теоремы. Вопросы и ответы по теме. 01:12:15 Введение в метод вариации постоянной Рассматривается неоднородное уравнение. Метод вариации постоянной позволяет найти специальное частное решение. Частное решение должно удовлетворять заданному начальному условию. 01:13:20 Поиск частного решения Частное решение ищется в специальном виде. Решение должно обращаться в ноль в заданной начальной
2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 00:10 Введение в первый интеграл Обсуждение геометрической интерпретации и задач нахождения решений. Введение определения первого интеграла для скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Определение функции двух переменных, обладающей свойством постоянства для любого решения уравнения. 03:20 Отличие первого интеграла от общего интеграла Обсуждение отличий между первым и общим интегралом для скалярного уравнения. Применение теории неявных функций для определения решений. Определение первого интеграла для динамической системы. 08:26 Примеры физических задач Примеры физических задач, таких как радиоактивный распад и уравнение движения материальной точки. Обсуждение уравнения колебания груза на пружине и его вывода. Применение закона сохранения энергии для получения уравнения движения. 17:06 Колебания маятника Пример колебаний маятника как нелинейного дифференциального уравнения. Важность изучения этого примера для понимания свойств нелинейных уравнений. 18:09 Уравнение математического маятника Рассматривается уравнение, описывающее нелинейные колебания. Уравнение называется уравнением математического маятника. При малых колебаниях уравнение становится линейным. 20:39 Введение в уравнения первого порядка Рассматриваются уравнения первого порядка. Уравнения могут быть скалярными или системами. Начинается с простейших скалярных уравнений. 22:44 Уравнения с разделяющимися переменными Уравнения с разделяющимися переменными интегрируются в квадратурах. Пример уравнения: y' = f1 x / f2 y. Решение уравнения предполагает существование решения. 27:26 Автономные уравнения движения Рассматриваются автономные уравнения движения материальной точки. Уравнение движения: d^2x/dt^2 = f(x). Важность первого интеграла и общего решения. 32:01 Получение первого интеграла Деление на m и умножение на x'dt. Устранение производных и получение интеграла. Пример вычисления интеграла и получение общего решения. 36:24 Введение в первый интеграл Объяснение, что такое первый интеграл для уравнения второго порядка. Первый интеграл выражает законы сохранения. Пример использования первого интеграла для уравнения первого порядка. 37:42 Решение уравнения второго порядка Решение уравнения относительно производной. Уравнение с разделяющимися переменными. Уравнение математического маятника как частный случай уравнения второго порядка. 40:25 Общий интеграл и динамическая система Общий интеграл для уравнения второго порядка зависит от двух переменных. Введение динамической системы для автономного уравнения второго порядка. Эквивалентная динамическая система и её первый интеграл. 44:15 Фазовая плоскость и фазовая траектория Введение понятия фазовой плоскости и фазовой траектории. Фазовая траектория как проекция решения на фазовую плоскость. Уравнение для фазовой траектории и его интегрирование. 51:53 Линейное уравнение первого порядка Введение в линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение вида y' = f(x) + p(x)y. Линейность уравнения и его терминология. 54:00 Неоднородное уравнение Неоднородное уравнение имеет правую часть, отличную от нуля. Рассматривается множество значений x, на котором функции p от x и f от x непрерывны. Уравнение допускает разделение переменных. 55:25 Разделение переменных Уравнение допускает разделение переменных при условии, что y не равно нулю. Интегрирование приводит к логарифму модуля y и интегралу от p от x dx. Общее решение уравнения: y от x = c на e в степени минус интеграл от p от x dx. 58:35 Обоснование общего решения Необходимо доказать, что полученное решение действительно является общим. Любое решение однородного уравнения должно быть представлено в виде общего решения. Доказательство включает логические рассуждения и теоремы. 01:01:28 Теорема о представлении решения Любое решение однородного уравнения представимо в виде общего решения. Рассматривается функция f от x, умноженная на экспоненту. Доказывается, что эта функция является константой, что завершает доказательство теоремы. 01:06:27 Задача Каши Уравнение имеет дополнительные условия y x0 = y 0. Общее решение включает одну неизвестную постоянную, которую нужно установить. Решение удовлетворяет дополнительным условиям и является единственным. 01:08:58 Единственность решения Решение единственно, что следует из единственности представления. При y 0 = 0 уравнение имеет только тривиальное решение. Этот факт важен для линейных уравнений и используется в линейной алгебре. 01:11:16 Неоднородное уравнение Переход к обсуждению неоднородного уравнения. Обсуждение метода вариации постоянной и формулировка теоремы. Вопросы и ответы по теме. 01:12:15 Введение в метод вариации постоянной Рассматривается неоднородное уравнение. Метод вариации постоянной позволяет найти специальное частное решение. Частное решение должно удовлетворять заданному начальному условию. 01:13:20 Поиск частного решения Частное решение ищется в специальном виде. Решение должно обращаться в ноль в заданной начальной