3 Задача Коши
01:14 Обзор предыдущей лекции Обсуждение теоремы существования и единственности решения линейной задачи. Введение геометрической интерпретации теоремы. Линейное уравнение и условия задачи Каши. 03:07 Геометрическая интерпретация теоремы Теорема существования и единственности решения задачи Каши. Геометрическое представление теоремы на числовой прямой. Единственность интегральной кривой. 06:02 Доказательство существования решения Метод вариации постоянной для нахождения решения. Формула решения и её проверка на соответствие начальным условиям. Единственность решения с использованием метода вариации постоянной. 09:38 Доказательство единственности решения Использование метода от противного для доказательства единственности. Преобразование задачи в однородное уравнение с нулевыми дополнительными условиями. Единственность решения однородного уравнения и его тривиальность. 14:17 Переход к классической теореме Важность теоремы существования и единственности в курсе дифференциальных уравнений. Постановка задачи и её основные элементы. Введение основной теоремы и её классификация. 16:18 Введение в нелинейную задачу Рассматривается нелинейная задача, которая может быть применена и к линейным задачам. Задача формулируется как уравнение y' = f(x, y). Уравнение решается в некоторой области, где функция f определена. 17:17 Условия существования решения Устанавливаются условия, при которых решение задачи существует. Теорема существования единственности содержит два требования: гладкость правой части и непрерывность. Эти условия будут нумероваться как условия U1 и U2. 18:34 Условие U1 Функция f определена в области, содержащей прямоугольник. Функция непрерывна в замкнутом прямоугольнике. Существует константа M, такая что модуль f в прямоугольнике не превышает M. 22:50 Условие U2 Функция f удовлетворяет условию Липшица. Модуль разности между f в двух точках не превышает константу, зависящую от области. Это условие позволяет доказать теорему существования единственности. 27:25 Геометрическая интерпретация Дается геометрическая интерпретация для понимания теоремы. На плоскости рисуются характеристики, образующие характеристический треугольник. Интегральная кривая не покидает характеристический угол, если она выпущена вправо. 32:58 Геометрическая интерпретация Обсуждение тангенса угла наклона касательной к интегральной кривой. Важность условий гладкости для существования интегральной кривой. Влияние положения точки x0+a на поведение интегральной кривой. 35:11 Теорема существования и единственности Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи. Определение промежутка существования решения. Влияние градиента функции на поведение решения. 38:08 Доказательство теоремы Переход к доказательству теоремы. Использование метода последовательных приближений. Введение лемм для доказательства основной теоремы. 42:20 Лемма об эквивалентности Сведение задачи к интегральному уравнению. Доказательство эквивалентности исходной задачи и интегрального уравнения. Важность непрерывности решений для доказательства. 50:56 Метод последовательных приближений Реализация метода последовательных приближений. Простое объяснение метода и его применение. 51:33 Введение в итерационные методы Итерационные методы заменяют сложную задачу цепочкой более простых задач. Цель метода - последовательно приближаться к решению исходной задачи. В численных методах это называется линеаризацией нелинейной задачи. 53:05 Пример итерационной задачи Рассматривается итерационная задача с функцией y_n = f от x. Для запуска процесса нужно выбрать начальное приближение y_0. y_0 должно быть непрерывной функцией, лежащей в определенном множестве. 55:26 Последовательность итераций Итерационная последовательность определяется до любого номера n. Функция y_n от x не покидает характеристический угол. Решение каждой итерационной задачи записывается как интеграл. 58:46 Практическое применение Итерационный процесс используется для получения аналитических приближений. Метод применяется не только в теории, но и на практике. Результат - функциональная последовательность, которая сходится к решению задачи. 01:01:09 Доказательство сходимости Функциональная последовательность сходится равномерно. Доказательство использует условия Липшица. Вводится функциональный ряд для исследования сходимости. 01:04:52 Оценка членов ряда Исследование сходимости сводится к оценке членов функционального ряда. Оценки основаны на условиях Липшица. Применение условий Липшица позволяет усилить оценки и доказать сходимость. 01:10:26 Оценка членов ряда Оценка разности между членами ряда. Использование неравенства Липшица. Применение метода математической индукции. 01:14:28 Мажорирующий числовой ряд Получение мажорирующего числового ряда. Сходимость ряда по признаку Даламбера. Равномерная сходимость функциональной последовательности. 01:19:10 Существование решения Функциональная последовательность сходится к непрерывному решению. Переход к пределу при стремлении к бесконечности.
01:14 Обзор предыдущей лекции Обсуждение теоремы существования и единственности решения линейной задачи. Введение геометрической интерпретации теоремы. Линейное уравнение и условия задачи Каши. 03:07 Геометрическая интерпретация теоремы Теорема существования и единственности решения задачи Каши. Геометрическое представление теоремы на числовой прямой. Единственность интегральной кривой. 06:02 Доказательство существования решения Метод вариации постоянной для нахождения решения. Формула решения и её проверка на соответствие начальным условиям. Единственность решения с использованием метода вариации постоянной. 09:38 Доказательство единственности решения Использование метода от противного для доказательства единственности. Преобразование задачи в однородное уравнение с нулевыми дополнительными условиями. Единственность решения однородного уравнения и его тривиальность. 14:17 Переход к классической теореме Важность теоремы существования и единственности в курсе дифференциальных уравнений. Постановка задачи и её основные элементы. Введение основной теоремы и её классификация. 16:18 Введение в нелинейную задачу Рассматривается нелинейная задача, которая может быть применена и к линейным задачам. Задача формулируется как уравнение y' = f(x, y). Уравнение решается в некоторой области, где функция f определена. 17:17 Условия существования решения Устанавливаются условия, при которых решение задачи существует. Теорема существования единственности содержит два требования: гладкость правой части и непрерывность. Эти условия будут нумероваться как условия U1 и U2. 18:34 Условие U1 Функция f определена в области, содержащей прямоугольник. Функция непрерывна в замкнутом прямоугольнике. Существует константа M, такая что модуль f в прямоугольнике не превышает M. 22:50 Условие U2 Функция f удовлетворяет условию Липшица. Модуль разности между f в двух точках не превышает константу, зависящую от области. Это условие позволяет доказать теорему существования единственности. 27:25 Геометрическая интерпретация Дается геометрическая интерпретация для понимания теоремы. На плоскости рисуются характеристики, образующие характеристический треугольник. Интегральная кривая не покидает характеристический угол, если она выпущена вправо. 32:58 Геометрическая интерпретация Обсуждение тангенса угла наклона касательной к интегральной кривой. Важность условий гладкости для существования интегральной кривой. Влияние положения точки x0+a на поведение интегральной кривой. 35:11 Теорема существования и единственности Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи. Определение промежутка существования решения. Влияние градиента функции на поведение решения. 38:08 Доказательство теоремы Переход к доказательству теоремы. Использование метода последовательных приближений. Введение лемм для доказательства основной теоремы. 42:20 Лемма об эквивалентности Сведение задачи к интегральному уравнению. Доказательство эквивалентности исходной задачи и интегрального уравнения. Важность непрерывности решений для доказательства. 50:56 Метод последовательных приближений Реализация метода последовательных приближений. Простое объяснение метода и его применение. 51:33 Введение в итерационные методы Итерационные методы заменяют сложную задачу цепочкой более простых задач. Цель метода - последовательно приближаться к решению исходной задачи. В численных методах это называется линеаризацией нелинейной задачи. 53:05 Пример итерационной задачи Рассматривается итерационная задача с функцией y_n = f от x. Для запуска процесса нужно выбрать начальное приближение y_0. y_0 должно быть непрерывной функцией, лежащей в определенном множестве. 55:26 Последовательность итераций Итерационная последовательность определяется до любого номера n. Функция y_n от x не покидает характеристический угол. Решение каждой итерационной задачи записывается как интеграл. 58:46 Практическое применение Итерационный процесс используется для получения аналитических приближений. Метод применяется не только в теории, но и на практике. Результат - функциональная последовательность, которая сходится к решению задачи. 01:01:09 Доказательство сходимости Функциональная последовательность сходится равномерно. Доказательство использует условия Липшица. Вводится функциональный ряд для исследования сходимости. 01:04:52 Оценка членов ряда Исследование сходимости сводится к оценке членов функционального ряда. Оценки основаны на условиях Липшица. Применение условий Липшица позволяет усилить оценки и доказать сходимость. 01:10:26 Оценка членов ряда Оценка разности между членами ряда. Использование неравенства Липшица. Применение метода математической индукции. 01:14:28 Мажорирующий числовой ряд Получение мажорирующего числового ряда. Сходимость ряда по признаку Даламбера. Равномерная сходимость функциональной последовательности. 01:19:10 Существование решения Функциональная последовательность сходится к непрерывному решению. Переход к пределу при стремлении к бесконечности.