1 Введение
00:00 Введение в курс Основные понятия курса. Понятие дифференциального уравнения. Определение дифференциального уравнения. 01:58 Обыкновенные дифференциальные уравнения Определение обыкновенного дифференциального уравнения ОДУ. Примеры ОДУ. Скалярные и векторные уравнения. 09:18 Общий вид дифференциального уравнения Общий вид ОДУ. Уравнения, разрешенные и неразрешенные относительно старшей производной. Порядок ОДУ. 13:04 Уравнения в частных производных Определение уравнений в частных производных. Примеры уравнений Лапласа и Пуассона. Уравнение теплопроводности. 17:51 Применение уравнений в частных производных Уравнения в частных производных описывают различные процессы. Примеры применения в экологии и биофизике. Специализация на кафедрах. 18:27 Уравнения в частных производных Уравнение теплопроводности: первая производная по времени, вторая производная по пространству. Волновое уравнение: вторая производная по времени равна второй производной по пространству. Уравнение в частных производных первого порядка: уравнение с одной производной по времени и одной производной по пространству. 22:51 Нормальные системы ОДУ Нормальная система ОДУ: векторная система уравнений первого порядка. Автономная система: система, не зависящая от времени. Классическое решение: функция, удовлетворяющая уравнению и его производным. 28:18 Общее решение Общее решение: совокупность всех решений уравнения. Определение общего решения: функция, удовлетворяющая уравнению на заданном промежутке. Примеры решений: функции, удовлетворяющие уравнению и его производным на заданном промежутке. 35:07 Примеры решений уравнений Пример уравнения: y'' + y = 0. Решение: y = sin x, y = 2cos x. Общее решение: y = c1sin x + c2cos x, где c1 и c2 - параметры. 37:15 Уравнение радиоактивного распада Пример уравнения: y' = ax. Решение: y = C e^ax. Общее решение: y = C e^a_1x + C e^a_2x. 39:07 Интегрирование уравнений Процесс определения решения ОДУ называется интегрированием. Введение новых обозначений может запутать. Определение общего интеграла ОДУ. 40:53 Общее решение ОДУ Общее решение ОДУ содержит все решения уравнения. Пример: y = y(x, c). Специальные решения и их описание. 45:14 Интегрирование в квадратурах Уравнение считается проинтегрированным в квадратурах, если интеграл в его представлении выражается через первообразную. Пример: уравнение движения с автономной правой частью. 48:43 Примеры интегрирования Пример: y'' + f(x)y = 0. Общий интеграл: y = -∫f(x)dx + C. Частное решение: y = y(x). 51:30 Важность анализа и сравнения Умение анализировать и сравнивать важно для студентов физических и математических факультетов. Важно не просто писать формулы, а понимать и оценивать результаты. Пример с радиусом Земли показывает, что точность формул не всегда важна. 53:23 Постановка задач и дополнительные условия Решение задачи Каши: в начальный момент задается дополнительное условие, чтобы выделить частное решение. Общее решение уравнения - это сумма частного и общего решений. Для линейных уравнений общее решение всегда является суммой частного и общего. 54:44 Постановка задач и дополнительные условия Дополнительные условия ставятся для выделения единственного решения из множества возможных. В физике дополнительные условия описывают конкретный процесс. Пример задачи Каши: дополнительные условия задаются в одной точке, их число равно порядку уравнения. 58:37 Краевые задачи Краевые задачи основаны на теории начальных задач, но имеют свои особенности. Рассматриваются двухточечные краевые задачи, где крайние точки не включаются в рассмотрение. Примеры краевых условий: Дирихле, Неймана, третьего рода. 01:03:45 Периодические краевые задачи Периодическая краевая задача: функция должна быть периодической. Периодическая функция выделяет единственное решение. Это важное условие для физиков, которое выделяет единственное решение.
00:00 Введение в курс Основные понятия курса. Понятие дифференциального уравнения. Определение дифференциального уравнения. 01:58 Обыкновенные дифференциальные уравнения Определение обыкновенного дифференциального уравнения ОДУ. Примеры ОДУ. Скалярные и векторные уравнения. 09:18 Общий вид дифференциального уравнения Общий вид ОДУ. Уравнения, разрешенные и неразрешенные относительно старшей производной. Порядок ОДУ. 13:04 Уравнения в частных производных Определение уравнений в частных производных. Примеры уравнений Лапласа и Пуассона. Уравнение теплопроводности. 17:51 Применение уравнений в частных производных Уравнения в частных производных описывают различные процессы. Примеры применения в экологии и биофизике. Специализация на кафедрах. 18:27 Уравнения в частных производных Уравнение теплопроводности: первая производная по времени, вторая производная по пространству. Волновое уравнение: вторая производная по времени равна второй производной по пространству. Уравнение в частных производных первого порядка: уравнение с одной производной по времени и одной производной по пространству. 22:51 Нормальные системы ОДУ Нормальная система ОДУ: векторная система уравнений первого порядка. Автономная система: система, не зависящая от времени. Классическое решение: функция, удовлетворяющая уравнению и его производным. 28:18 Общее решение Общее решение: совокупность всех решений уравнения. Определение общего решения: функция, удовлетворяющая уравнению на заданном промежутке. Примеры решений: функции, удовлетворяющие уравнению и его производным на заданном промежутке. 35:07 Примеры решений уравнений Пример уравнения: y'' + y = 0. Решение: y = sin x, y = 2cos x. Общее решение: y = c1sin x + c2cos x, где c1 и c2 - параметры. 37:15 Уравнение радиоактивного распада Пример уравнения: y' = ax. Решение: y = C e^ax. Общее решение: y = C e^a_1x + C e^a_2x. 39:07 Интегрирование уравнений Процесс определения решения ОДУ называется интегрированием. Введение новых обозначений может запутать. Определение общего интеграла ОДУ. 40:53 Общее решение ОДУ Общее решение ОДУ содержит все решения уравнения. Пример: y = y(x, c). Специальные решения и их описание. 45:14 Интегрирование в квадратурах Уравнение считается проинтегрированным в квадратурах, если интеграл в его представлении выражается через первообразную. Пример: уравнение движения с автономной правой частью. 48:43 Примеры интегрирования Пример: y'' + f(x)y = 0. Общий интеграл: y = -∫f(x)dx + C. Частное решение: y = y(x). 51:30 Важность анализа и сравнения Умение анализировать и сравнивать важно для студентов физических и математических факультетов. Важно не просто писать формулы, а понимать и оценивать результаты. Пример с радиусом Земли показывает, что точность формул не всегда важна. 53:23 Постановка задач и дополнительные условия Решение задачи Каши: в начальный момент задается дополнительное условие, чтобы выделить частное решение. Общее решение уравнения - это сумма частного и общего решений. Для линейных уравнений общее решение всегда является суммой частного и общего. 54:44 Постановка задач и дополнительные условия Дополнительные условия ставятся для выделения единственного решения из множества возможных. В физике дополнительные условия описывают конкретный процесс. Пример задачи Каши: дополнительные условия задаются в одной точке, их число равно порядку уравнения. 58:37 Краевые задачи Краевые задачи основаны на теории начальных задач, но имеют свои особенности. Рассматриваются двухточечные краевые задачи, где крайние точки не включаются в рассмотрение. Примеры краевых условий: Дирихле, Неймана, третьего рода. 01:03:45 Периодические краевые задачи Периодическая краевая задача: функция должна быть периодической. Периодическая функция выделяет единственное решение. Это важное условие для физиков, которое выделяет единственное решение.