12 Устойчивость по Ляпунову. Классификация точек покоя

Устойчивость по Ляпунову заключается в том, что для любого размера окрестности невозмущённого движения существует размер окрестности, в которой можно «возмутить» начальные условия. При этом возмущённое движение после некоторого момента времени войдёт в окрестность и останется в ней при любом дальнейшем времени. Классификация точек покоя основана на поведении фазовых траекторий в их окрестности: Устойчивый узел: Точка покоя асимптотически устойчива. Неустойчивый узел: Точка покоя неустойчива. Седло: Точка покоя также неустойчива. Устойчивый фокус: Точка покоя асимптотически устойчива. Неустойчивый фокус: Точка покоя неустойчива. Центр: Точка покоя устойчива, но не асимптотически устойчива. Характер устойчивости точки покоя определяется по корням характеристического уравнения: Если корни имеют отрицательные вещественные части, то точка покоя устойчива асимптотически. Если корни чисто мнимые, то точка покоя устойчива, но не асимптотически. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива.