Лекция 05. Теорема о свойствах скалярного произведения
Скалярное произведение в пространстве — это операция, которая объединяет два вектора в скалярное значение. Она обозначается как (x, y) и определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Теоремы о свойствах скалярного произведения в пространстве включают утверждения о билинейности, симметричности, неотрицательности и ортогональности векторов. Эти свойства справедливы для линейных пространств с введённым скалярным произведением (евклидовых пространств). Билинейность Скалярное произведение билинейно. Это означает, что оно линейно по каждому аргументу. Некоторые свойства: (ax, y) = a(x, y); (x + y, z) = (x, z) + (y, z) для любых x, y, z и a ∈ R. Линейность по второму аргументу следует из симметричности. Симметричность Скалярное произведение симметрично по сомножителям. Это означает, что оба сомножителя равноправны, и скалярное произведение обладает одинаковыми свойствами относительно обоих сомножителей. Формулировка: (x, y) = (y, x) для любых x, y. Неотрицательность Скалярное произведение неотрицательно для любого вектора x, причём (x, x) = 0 только при x = 0. Доказательство: знак скалярного произведения определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение больше 0, если угол между векторами острый, и меньше 0, если угол между векторами тупой. Ортогональность Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны. Это обобщает понятие перпендикулярности на произвольные линейные пространства с введённым скалярным произведением. Формулировка: a · b = 0 ⇔ a ⊥ b. Важно: понятие ортогональности привязано к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.
Скалярное произведение в пространстве — это операция, которая объединяет два вектора в скалярное значение. Она обозначается как (x, y) и определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Теоремы о свойствах скалярного произведения в пространстве включают утверждения о билинейности, симметричности, неотрицательности и ортогональности векторов. Эти свойства справедливы для линейных пространств с введённым скалярным произведением (евклидовых пространств). Билинейность Скалярное произведение билинейно. Это означает, что оно линейно по каждому аргументу. Некоторые свойства: (ax, y) = a(x, y); (x + y, z) = (x, z) + (y, z) для любых x, y, z и a ∈ R. Линейность по второму аргументу следует из симметричности. Симметричность Скалярное произведение симметрично по сомножителям. Это означает, что оба сомножителя равноправны, и скалярное произведение обладает одинаковыми свойствами относительно обоих сомножителей. Формулировка: (x, y) = (y, x) для любых x, y. Неотрицательность Скалярное произведение неотрицательно для любого вектора x, причём (x, x) = 0 только при x = 0. Доказательство: знак скалярного произведения определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение больше 0, если угол между векторами острый, и меньше 0, если угол между векторами тупой. Ортогональность Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны. Это обобщает понятие перпендикулярности на произвольные линейные пространства с введённым скалярным произведением. Формулировка: a · b = 0 ⇔ a ⊥ b. Важно: понятие ортогональности привязано к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.