4 Задача Коши для неоднородного ДУ. Теоремы Чаплыгина
4 Задача Коши для неоднородного ДУ. Теоремы Чаплыгина 00:10 Введение в теорему существования и единственности Доказаны три леммы, что позволило получить результат существования решения начальной задачи для скалярного нелинейного уравнения. Планируется доказать единственность решения, что является леммой четыре. 00:56 Эквивалентность исходной задачи и интегрального уравнения Доказана эквивалентность исходной задачи и соответствующего интегрального уравнения. Лемма четыре завершает доказательство теоремы единственности. 01:45 Интегральное уравнение и его эквивалентность Интегральное уравнение: y от x = y от x0 + интеграл от x0 до x f от y от dx. Уравнение эквивалентно исходной задаче Каши. 02:53 Доказательство единственности Доказательство единственности начинается с предположения, что существует два решения. Вводится функция z от x = y1 от x - y2 от x. 04:49 Уравнение для z от x Вычитание уравнений для y1 и y2 приводит к уравнению для z от x. Интеграл от x0 до x f от y1 от x - f от y2 от x. 07:03 Оценка модуля z от x Использование условий теоремы у2 для оценки модуля z от x. Максимум модуля z от x на промежутке от x0 до x0 + h. 08:28 Условие Липшица и его применение Применение условия Липшица для оценки модуля z от x. Усиление неравенства и вывод о тождественном равенстве z от x нулю. 11:37 Завершение доказательства Если n h меньше единицы, z от x тождественно равно нулю. Если n h больше единицы, z от x равно нулю на промежутке x0, x0 + h. 17:19 Заключение и переход к следующей теореме Z от x тождественно равно нулю на промежутке x0, x0 + h. Решение единственное, что завершает доказательство теоремы единственности. Переход к следующей теореме и объяснение условий теоремы. 20:28 Теорема о локальном решении Теорема 1 утверждает, что решение существует в окрестности начальной точки. Интегральную кривую можно продолжить на некоторое расстояние. Оценка решения грубая, но теорема 1 локальна. 21:30 Теорема о глобальном решении Теорема 2 утверждает, что решение существует на всем промежутке гладкости. Решение существует и единственно при всех значениях x. Доказательство повторяет доказательства теоремы 1, но с некоторыми изменениями. 24:22 Отличия в доказательстве В теореме 1 решение могло покинуть область гладкости. В теореме 2 решение не может покинуть область гладкости. Итерационная схема отличается выбором функции y0. 26:00 Изменения в доказательстве В теореме 2 y0 выбирается как непрерывная функция на отрезке x0, x0+a. Это приводит к изменениям в оценках и доказательствах. Важно понимать, как эти изменения влияют на результат. 31:45 Важность теоремы 2 Теорема 2 не локальна, а глобальна. Этот результат важен для методологических целей. Будет использоваться при доказательстве других теорем. 32:29 Замечания и примеры Пример 1: уравнение с двумя корнями. Пример 2: нарушение условия Липшица. Теорема Пиано: существование решения без условия Липшица. 38:23 Замечание о продолжении решения Решение задачи может быть продолжено, но не всегда. Пример: решение может быть продолжено вправо до точки x1, y1. Теоретически это важно, но практически мало полезно. 41:08 Пример разрушения решений Пример: y' = y^2, y(1) = 1. Решение существует только до x = 2. Эффект разрушения решений: решение уходит на бесконечность в окрестности точки x = 2. 44:17 Оценка промежутка существования решения Теорема существования единственности дает грубую оценку. Пример: оценка для y' = y^2, y(1) = 1. Оценка: решение существует на одной четвертой части интервала. 50:15 Упражнения и завершение Упражнение: оценить решение для y'' = y^3, y(1) = 1. Важно понимать роль и место теоремы существования единственности. Переход к следующему разделу: теоремы сравнения и дифференциальные неравенства. 54:57 Теорема сравнения Чаплыгина Теорема сравнения Чаплыгина известна как теорема сравнения. Теорема обобщает и полезна для решения задач. Рассматривается простая версия теоремы, предложенная Чаплыгиным. 55:53 Решение задачи Каши Решение задачи Каши: y = y_a, где y_a удовлетворяет дифференциальному уравнению. Начальная точка y_0 = y_00. Верхняя функция z_t удовлетворяет дифференциальному неравенству. 01:00:10 Доказательство теоремы Доказательство основано на неравенстве z_t ﹥ y_a. Если неравенство нарушается, это приводит к противоречию. Теорема Чаплыгина доказана. 01:05:16 Вторая теорема Чаплыгина Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Введение понятий верхнего и нижнего решения. Определение верхнего и нижнего решения задачи Коши. 01:10:30 Замечание о свойствах решений Замечание о свойствах верхнего и нижнего решения. Переход к теореме существования и единственности решения. 01:12:18 Теорема существования и единственности Теорема существования и единственности решения задачи Каши. Условия гладкости и условие Липшица. Установление существования и единственности решения. 01:15:39 Условия теоремы Условия теоремы выполняются в криволинейной трапеции на плоскости. Решение задачи существует и единственно на отрезке от 0 до t.
4 Задача Коши для неоднородного ДУ. Теоремы Чаплыгина 00:10 Введение в теорему существования и единственности Доказаны три леммы, что позволило получить результат существования решения начальной задачи для скалярного нелинейного уравнения. Планируется доказать единственность решения, что является леммой четыре. 00:56 Эквивалентность исходной задачи и интегрального уравнения Доказана эквивалентность исходной задачи и соответствующего интегрального уравнения. Лемма четыре завершает доказательство теоремы единственности. 01:45 Интегральное уравнение и его эквивалентность Интегральное уравнение: y от x = y от x0 + интеграл от x0 до x f от y от dx. Уравнение эквивалентно исходной задаче Каши. 02:53 Доказательство единственности Доказательство единственности начинается с предположения, что существует два решения. Вводится функция z от x = y1 от x - y2 от x. 04:49 Уравнение для z от x Вычитание уравнений для y1 и y2 приводит к уравнению для z от x. Интеграл от x0 до x f от y1 от x - f от y2 от x. 07:03 Оценка модуля z от x Использование условий теоремы у2 для оценки модуля z от x. Максимум модуля z от x на промежутке от x0 до x0 + h. 08:28 Условие Липшица и его применение Применение условия Липшица для оценки модуля z от x. Усиление неравенства и вывод о тождественном равенстве z от x нулю. 11:37 Завершение доказательства Если n h меньше единицы, z от x тождественно равно нулю. Если n h больше единицы, z от x равно нулю на промежутке x0, x0 + h. 17:19 Заключение и переход к следующей теореме Z от x тождественно равно нулю на промежутке x0, x0 + h. Решение единственное, что завершает доказательство теоремы единственности. Переход к следующей теореме и объяснение условий теоремы. 20:28 Теорема о локальном решении Теорема 1 утверждает, что решение существует в окрестности начальной точки. Интегральную кривую можно продолжить на некоторое расстояние. Оценка решения грубая, но теорема 1 локальна. 21:30 Теорема о глобальном решении Теорема 2 утверждает, что решение существует на всем промежутке гладкости. Решение существует и единственно при всех значениях x. Доказательство повторяет доказательства теоремы 1, но с некоторыми изменениями. 24:22 Отличия в доказательстве В теореме 1 решение могло покинуть область гладкости. В теореме 2 решение не может покинуть область гладкости. Итерационная схема отличается выбором функции y0. 26:00 Изменения в доказательстве В теореме 2 y0 выбирается как непрерывная функция на отрезке x0, x0+a. Это приводит к изменениям в оценках и доказательствах. Важно понимать, как эти изменения влияют на результат. 31:45 Важность теоремы 2 Теорема 2 не локальна, а глобальна. Этот результат важен для методологических целей. Будет использоваться при доказательстве других теорем. 32:29 Замечания и примеры Пример 1: уравнение с двумя корнями. Пример 2: нарушение условия Липшица. Теорема Пиано: существование решения без условия Липшица. 38:23 Замечание о продолжении решения Решение задачи может быть продолжено, но не всегда. Пример: решение может быть продолжено вправо до точки x1, y1. Теоретически это важно, но практически мало полезно. 41:08 Пример разрушения решений Пример: y' = y^2, y(1) = 1. Решение существует только до x = 2. Эффект разрушения решений: решение уходит на бесконечность в окрестности точки x = 2. 44:17 Оценка промежутка существования решения Теорема существования единственности дает грубую оценку. Пример: оценка для y' = y^2, y(1) = 1. Оценка: решение существует на одной четвертой части интервала. 50:15 Упражнения и завершение Упражнение: оценить решение для y'' = y^3, y(1) = 1. Важно понимать роль и место теоремы существования единственности. Переход к следующему разделу: теоремы сравнения и дифференциальные неравенства. 54:57 Теорема сравнения Чаплыгина Теорема сравнения Чаплыгина известна как теорема сравнения. Теорема обобщает и полезна для решения задач. Рассматривается простая версия теоремы, предложенная Чаплыгиным. 55:53 Решение задачи Каши Решение задачи Каши: y = y_a, где y_a удовлетворяет дифференциальному уравнению. Начальная точка y_0 = y_00. Верхняя функция z_t удовлетворяет дифференциальному неравенству. 01:00:10 Доказательство теоремы Доказательство основано на неравенстве z_t ﹥ y_a. Если неравенство нарушается, это приводит к противоречию. Теорема Чаплыгина доказана. 01:05:16 Вторая теорема Чаплыгина Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Введение понятий верхнего и нижнего решения. Определение верхнего и нижнего решения задачи Коши. 01:10:30 Замечание о свойствах решений Замечание о свойствах верхнего и нижнего решения. Переход к теореме существования и единственности решения. 01:12:18 Теорема существования и единственности Теорема существования и единственности решения задачи Каши. Условия гладкости и условие Липшица. Установление существования и единственности решения. 01:15:39 Условия теоремы Условия теоремы выполняются в криволинейной трапеции на плоскости. Решение задачи существует и единственно на отрезке от 0 до t.